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Matemática C - Aula 8

Arranjo, Combinação e Permutação

Arranjos Simples

Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. O número de arranjos simples de $n$ elementos em grupos de $p$ elementos é dado por:

\begin{displaymath}A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}\end{displaymath}

Esta fórmula mostra que os arranjos dos $n$ elementos tomados $p$ a $p$ podem ser escritos utilizando-se fatoriais.

Exemplos

1) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?

Os números formados devem ter 3 algarismos, por exemplo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemos novos números, portanto, o problema é de arranjo simples. Logo

\begin{displaymath}A_{6,3} = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!}= 120\end{displaymath}

2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5. Como os números devem ser divisíveis por 5, os mesmos devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos 6 algarismos que tínhamos para trabalhar nos restam 5, dos quais vamos tomar 3 a 3. Se tomarmos uma das possíveis respostas, por exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus elementos teremos o número 4325, que é outra resposta do problema. Logo o problema proposto é de arranjos simples. Com isso temos que:

\begin{displaymath}A_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2!}= 60\end{displaymath}

Combinações Simples

Combinação simples é o tipo de agrupamento, sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. O número de combinações de $n$ elementos de grupos de $p$ elementos é igual ao número de arranjos de $n$ elementos tomados $p$ a $p$, dividido por $p!$, isto é:

\begin{displaymath}C_{n,p} = \frac{A_{n,p}}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}\end{displaymath}

Exemplos

1) Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas ?

As comissões formadas devem Ter 3 pessoas, por exemplo $A$ , $B$ e $C$. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos a mesma comissão. Portanto, o problema é de combinação.

\begin{displaymath}C_{5,3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!2!} = 10\end{displaymath}

Logo, podemos formar 10 comissões.

2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?

Com os 13 pontos, podemos obter $C_{13,3}$ triângulos.

Se tomarmos os três pontos sobre a mesma reta, não formaremos um triângulo, com isso, o total de triângulos obtidos é dado por

\begin{displaymath}C_{13,3} - C_{8,3} - C_{5,3} = 286 - 56 - 10 = 220\end{displaymath}

Permutações Simples

Permutações simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos em cada grupo.

A permutação simples é um caso particular de arranjo simples.

O número de permutações simples que se pode formar com n elementos é igual ao fatorial de $n$, ou seja:

\begin{displaymath}P_n = n!\end{displaymath}

Exemplos

1) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?

Como usaremos todos os algarismos dados, em cada resposta do problema, temos agrupamentos do tipo permutações simples, logo o número de algarismos é igual a

\begin{displaymath}P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\end{displaymath}

2) Quantos anagramas tem a palavra MITO?

Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada anagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras, temos:

\begin{displaymath}P_4 = 4! = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\end{displaymath}

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9?
a) 120
b) 720
c) 1.296
d) 15.625
e) n.d.a


2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores?
a) 48
b) 56
c) 72
d) 28
e) n.d.a


3. Considere o conjunto $A = \{2, 4, 5, 6\}$. Quantos números, distintos, múltiplos de 5 se podem formar, com todos os elementos de $A$?
a) 24
b) 12
c) 18
d) 06
e) n.d.a


4. Quantas palavras de 3 letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?
a) 504
b) 324
c) 27
d) 81
e) n.d.a


5. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
a) 2560
b) 1440
c) 4536
d) 2866
e) n.d.a


6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e 3 moças?
a) 30
b) 200
c) 300
d) 150
e) n.d.a


7. Quantos números de 7 algarismos distintos podem ser formadas, usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ?
a) 5040
b) 3640
c) 2320
d) 720
e) n.d.a


8. Quantos são os números compreendidos entre 2.000 e 3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
a) 210
b) 175
c) 336
d) 218
e) n.d.a

Exercícios Complementares


9. Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?
a) 210
b) 120
c) 75
d) 144
e) n.d.a


10. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?
a) 10
b) 15
c) 6
d) 12
e) n.d.a


11. (PUC-SP) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé?
a) 5.040
b) 21
c) 120
d) 2.520
e) n.d.a.


12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, começam com A e terminam com E?
a) 120
b) 720
c) 840
d) 24
e) n.d.a


13. (UFCE) A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9 é:
a) 20
b) 60
c) 240
d) 360
e) n.d.a.


14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são:
a) 5.040
b) 40
c) 2
d) 210
e) n.d.a.


15. (UFPA-PA) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L?
a) 24
b) 120
c) 720
d) 240
e) 1.440


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br