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Matemática C - Aula 6

Juros e Porcentagens

Juros Simples

Juro é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma emprestada.

Noção Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em ``A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a $10\%$ ao ano, durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples".

O raciocínio é:

Se o capital 100 produz 10 em um ano, então o capital 2.000 produzirá 600 em 3 anos.

Temos os seguintes dados:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\mbox{O \textbf{Capital} é $\dashrightarr...
...s \textbf{juros} são} \dashrightarrow & J = 600 \\
\end{array}\end{displaymath}

Observações:

Denominamos juros simples aqueles que não são somados ao capital, durante o tempo em que foi empregado.

Se a taxa ``$i$" for referida ao ano, mês, dia etc, o tempo ``$t$" também deverá ser tomado correspondentemente em anos, meses, dias, etc.

Para efeito de cálculo o ano é considerado de 12 meses de 30 dias cada.

Técnica Operatória

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade são de Regra de três composta, que obedecem ao seguinte esquema;

Grandezas

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
100 \dots & i \dots & l \\
C \dots & j \dots & t \\
\end{array}\end{displaymath}

Interpretação

Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital ``$c$" produzirá $j$ em $t$ anos.

Quando resolvemos isolando ``$j$", temos:

\begin{displaymath}
J=\frac{C \cdot i \cdot t}{100}
\end{displaymath}

Exemplos

  1. Quanto renderá um capital de R$ 5.000,00 empregado à taxa de $5\%\;a.a$, em regime de juros simples, durante 3 anos?

    Temos:

    $C = 5000$;
    $I = 5$;
    $T = 3$;

    Substituindo os respectivos valores na fórmula, temos:

    \begin{displaymath}
J =\frac{5000 \cdot 5 \cdot 3}{100} = 750
\end{displaymath}

    Assim, terá um rendimento de $R\$\;750,00$.

  2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 à taxa de $36\%\;a.a$, durante 6 meses.

    Observe que a taxa está expressa em anos, enquanto o tempo em meses. Como devemos trabalhar com as duas grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o tempo como sendo $\frac{6}{12}$ anos.

    Assim:

    \begin{displaymath}
J =\frac{8500 \cdot 36 \cdot \frac{6}{12}}{100} \Rightarrow J =
\frac{8500 \cdot 36 \cdot 6}{1200} =1530
\end{displaymath}

    Portanto, os juros são de R$ 1.530,00.

  3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de $1\%\;a.m$.

    Como não há concordância entre a taxa e o tempo, devemos fazer algumas modificações para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transformações:

    2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou então: $\frac{75}{360}$ anos. Ainda; a taxa $1\%$ ao mês, corresponde a $1\%$ vezes 12 meses, o que dá $12\%\;a.a$.

    Aplicando a fórmula, temos:

    \begin{displaymath}
J=\frac{2500\cdot 12\cdot \frac{75}{360}}{100}
=\frac{2500\cdot12\cdot75}{36000}=625
\end{displaymath}

    Logo, os juros produzidos são de R$ 625,00.

Porcentagem

Comumente usamos expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.

Exemplos

  1. A gasolina terá um aumento de $10\%$, na próxima semana.

    Significa que em cada R$ 100,00 haverá um acréscimo de R$ 10,00.

  2. Numa pesquisa de intenção de votos, o candidato A aparece em $2^o$ lugar, com $25\%$ da preferência dos eleitores, ao cargo de prefeito municipal.

    Quer dizer que; em média, a cada 100 pessoas que foram entrevistadas, 25 preferem o candidato A.

Razão Centesimal

Toda a razão que tem por denominador o número 100 denomina-se razão centesimal.

Exemplos

a) $\frac{25}{100} = 25\%$ (lê-se: 25 por cento)

b) $\frac{47}{100} = 47\%$ (lê-se: 47 por cento)

c) $\frac{125}{100} = 125\%$ (lê-se:125 por cento)

Chamamos as expressões $25\%$ ; $47\%$ ; $9\%$ de taxas centesimais ou taxas percentuais.

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Dessa forma; podemos resolves problemas de porcentagem, utilizando taxas percentuais.

Exemplos

  1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finalizações no decorrer de uma partida, obtendo um aproveitamento de $80 \%$. Qual o número de sucessos que ele obteve?

    \begin{displaymath}
80\% \;\; \mbox{de}\;\; 25 = \frac{80}{100} \cdot 25 = 20
\end{displaymath}

    Logo, ele obteve 20 sucessos.

  2. Um investidor comprou um lote de ações por R$ 1.500,00 e as revendeu um mês depois, por R$ 2.100,00. Qual foi o percentual de lucro por ele obtido?

    Para resolver o problema, vamos montar um esquema em que somaremos o percentual de lucro obtido, aos R$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao valor final de venda das ações.

    $ 1.500 + \frac{x}{100} \cdot 1.500 = 2.100 $
    $15x = 2.100 - 1.500$
    $x=\frac{600}{15} \Rightarrow x=40$

    Desse modo, ele obteve um lucro de $40\%$.

Fator de Multiplicação

Quando um dado valor sofre um acréscimo percentual, podemos incorporar tal acréscimo, obtendo assim o que chamamos de ``fator de multiplicação".

Exemplo

Um valor que sofre um aumento de $25\%$, terá um fator de multiplicação igual a $1,25$, pois:

$ 100\% + 25\% = 125\%$, ou seja:
$125\% =\frac{125}{100}=1,25$

Da mesma forma, podemos estender esse raciocínio para outros valores, como mostra a tabela abaixo:

Lucro ou Acréscimo Fator de Multiplicação
$10\%$ 1,10
$15\%$ 1,15
$20 \%$ 1,20
$47\%$ 1,47
$67 \%$ 1,67

Exemplo

Quanto passará a receber um funcionário, que tem um salário de R$ 950,00 e, obtém um aumento de $35\%$?

Para chegarmos ao valor do novo salário, basta que usemos um fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual, assim:

\begin{displaymath}
950 \cdot 1,35 = 1.282,50
\end{displaymath}

Portanto, o novo salário será de R$ 1.282,50.

Para os casos em que ocorrem decréscimos, o fator de multiplicação será dado por:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal).

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação
$10\%$ 0,90
$25\%$ 0,75
$34 \%$ 0,66
$60 \%$ 0,40
$90 \%$ 0,10

Exemplo

Qual será o valor do desconto de um produto, que custa R$ 350,00 , mas que em promoção é vendido por $22\%$ abaixo do preço?

Nesse caso, o fator de multiplicação é:
Fator = 1 - 0,22 = 0,78

Assim $350 \cdot 0,78 = 273$

Portanto, quando descontados $22\%$, o produto passa a custar R$ 273,00.

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de $20 \%$. Qual foi o valor pago em reais?
a) 1350
b) 1300
c) 1250
d) 1200
e) n.d.a


2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de $10\%$ sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
a) 12.400,00
b) 13.200,00
c) 13.800,00
d) 14.600,00
e) n.d.a


3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de compra?
a) 5
b) 10
c) 6
d) 11
e) n.d.a

Exercícios Complementares


4. Se a taxa de uma aplicação é de $150\%$ ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
a) 10 meses
b) 9 meses
c) 8 meses
d) 7 meses
e) n.d.a


5. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de $1,5\%a.m.$ rende R$ 250,00 de juros em 50 dias?
a) 10.000
b) 15.000
c) 25.000
d) 17.500
e) n.d.a


6. (Desafio) Um determinado produto teve um acréscimo de $20 \%$, sobre o seu preço de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de $20 \%$ sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)?
a) 100%
b) 96%
c) 90%
d) 85%
e) n.d.a


7. O valor de 10 % é igual a:
a) 100
b) 10
c) 1
d) 0,1
e) n.d.a

Análise Combinatória

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem nos mostra um método algébrico, para determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:

$p_1$ é o n^o de possibilidades da $1^a$ etapa
$p_2$ é o n^o de possibilidades da $2^a$ etapa
$\vdots$
$p_n$ é o n^o de possibilidades da $n$-ésima etapa

Então, o número total $P$ de possibilidades do acontecimento ocorrer é dado por:

\begin{displaymath}P = p_1 \times p_2 \times p_3 \times \ldots \times p_n\end{displaymath}

Exemplos

1) Quantas placas (distintas) de automóveis, poderão ser emitidas; com o sistema atual de emplacamento?

O atual sistema de emplacamento de automóveis no Brasil utiliza três letras e quatro algarismos. No novo alfabeto são consideradas 26 letras e temos dez dígitos entre os números. Logo o número de possibilidades será :

$P = 26\times 26\times 26\times 10\times 10\times 10\times 10 = 175.760.000$

2) Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instaladas, com o prefixo 436:

Para resolver este problema, é preciso escolher um algarismo para a casa das milhares, outro para as centenas, outro para as dezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a serem utilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidos entre os dez dígitos do sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como cada uma das casas podem ser preenchidas com um dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhas possíveis com o prefixo 436 é o produto das possibilidades que se tem para preencher cada uma das casas. Logo:

As linhas podem ter números no formato 436-ABCD, onde os quatro dígitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ter números de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes. Ou, de outro modo:

\begin{displaymath}P = 10\times 10\times 10\times 10 = 10.000\end{displaymath}

3) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos, são possíveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.

Ao iniciar a resolução de um problema de análise combinatória, é aconselhável que se faça alguns grupos dos quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema, veja alguns exemplos de números ímpares de 3 algarismos distintos: 347, 815, 135, 451,etc. Note que o número 533 não nos serve, pois houve repetição do algarismo 3; o número 534 também não serve, pois é par. Um outro ponto importante é, por onde começar a resolver o problema. Procure sempre atacar o problema, por onde houver um maior número de restrições. Veja:

centena dezenas unidades
     

Em nosso caso, temos a restrição de que os números devem ser ímpares.

Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades (1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo problema, porém eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), já que não pode haver repetição. Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente, analisando a casa das dezenas, concluímos que restaram 4 possibilidades, pois: não podemos repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiver na casa das centenas. Portanto: O total de possibilidades é: $P = 5 \times 4 \times 4 = 80$, o que dá um total de 80 números.

Fatorial

Sendo $n$ um número natural, define-se fatorial de $n$, e indica-se begintex2html_wrap_inline$n!$" à expressão

\begin{displaymath}n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1\end{displaymath}

Propriedade

Para fins de cálculo, define-se que:

\begin{displaymath}0! = 1\end{displaymath}


\begin{displaymath}1! = 1\end{displaymath}

Observe que: fatorial é uma definição por recorrência, ou seja: cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial anterior. Assim:

$0!$ = 1
$1!$ = 1
$2!$ = 2
$3!$ = 6
$4!$ = 24
$5!$ = 120
$6!$ = 720
$\vdots$   $\vdots$
$n!$ = $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot 3\cdot 2\cdot 1$

Exemplos


\begin{displaymath}\frac{10!}{8!}=\frac{10\times 9\times 8!}{8!}=90\end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{(x+3)!}{(x+1)!} = \frac{(x+3)(x+2)(x+1)!}{(x+1)!} = (x+3)(x+2) = x^2+ 5x + 6\end{displaymath}

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


8. O resultado de

\begin{displaymath}\frac{22!8!}{11!19!}\end{displaymath}

é:
a) 25
b) 28/3
c) 31/7
d) 15
e) n.d.a


9. Numa eleição de uma empresa, há 4 candidatos a presidente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
a) 120
b) 180
c) 150
d) 210
e) n.d.a


10. Simplifique as expressões:
a) $(x+5)!/(x+3)!$
b) $(3x+1)!/(3x-1)!$


11. (Mack-SP) Quantos números de 5 dígitos podem ser escritos com os algarismos $\{1,2,3,4\}$, sem que apareçam algarismos consecutivos iguais?
a) 20
b) 32
c) 40
d) 120
e) n. d. a.

Exercícios Complementares


12. Sobre uma circunferência marcam-se 6 pontos, igualmente espaçados. Quantas retas eles determinam:
a) 21
b) 16
c) 5
d) 12
e) n.d.a.


13. (Saem) A quantidade de números que podemos formar com os algarismos $\{3, 4, 5, 6\}$, sem repeti-los, maiores que 4000, é:
a) 64
b) 09
c) 06
d) 18
e) n.d.a


14. Quantos carros podem ser licenciados, se cada placa contém duas vogais e três dígitos?
a) 125.000
b) 110.000
c) 95.000
d) 154.000
e) n.d.a


15. Resolvendo a equação, $(x+3)!/(x+1)! = 12$, temos que:
a) x = 0
b) x = 1
c) x = 2
d) x = 3
e) n.d.a


16. (Ufes) Um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo pavimento, usando os acessos mencionados?
a) 25
b) 30
c) 45
d) 125
e) n.d.a


17. (Puc-SP) Chamam-se políndromos os números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de políndromos de cinco algarismos é:
a) 900
b) 780
c) 560
d) 640
e) n.d.a


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br