Matemática C - Aula 4

Razões e Proporções

Razão

A razão entre dois números $a$ e $b$ (com $a$ e $b$ reais e $b \neq 0$), nessa ordem, é o quociente $\frac{a}{b}$. O número $a$ é chamado antecedente e o número $b$ é chamado conseqüente.

Exemplos

1. A razão entre 4 e 6 é:
   
   $$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
   
   

2. A razão entre $2 \; m$ e $30\; cm$ é:
   
   $$\frac{2\;m}{30\;cm}=\frac{200\;cm}{30\;cm}=\frac{20}{3}$$
   
   

   Observe que a razão deve ser calculada numa unidade comum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a razão obtida não dependerá da unidade escolhida, pois é adimensional.

Escala

É a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real.

Exemplo

Um edifício tem $30 \; m$ de altura. Essa medida foi representada no projeto por $15\;cm$. Qual foi a escala usada nesse projeto?

$$\frac{\mbox{comprimento no desenho}}{\mbox{comprimento real}}=\frac{15\;cm}{30\;m}=\frac{15\;cm}{3000\;cm}$$

$E=\frac{1}{100}$ ou $E= 1\;:\;200$

Proporção

Os números $a$, $b$, $c$ e $d$, com $b$ e $d$ não nulos ($\neq0$, formam nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre $a$ e $b$ é igual a razão entre $c$ e $d$. Ou seja:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Lê-se: $a$ está para $b$, assim como $c$ está para $d$.

Os números $a$ e $d$ são chamados de extremos e os números $b$ e $c$ são chamados de meios.

Propriedades

I) O produto dos meios é igual ao produto dos extremos

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d=b \cdot c$$

II) A soma dos dois primeiros termos está para o segundo, assim como, a soma dos dois últimos está para o último.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

III) Cada antecedente está para o seu conseqüente, assim como; a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$

Grandezas Diretamente Proporcionais: (GDP)

Uma grandeza $A$ é diretamente proporcional a uma grandeza $B$, se, e somente se, as razões entre os valores de $A$ e os correspondentes valores de $B$ forem constantes.

Se $A = (a1, a2, a3,\ldots)$ e $B = (b1, b2, b3,\ldots)$, forem grandezas diretamente proporcionais, então

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=\ldots=k$$

Exemplo

Se considerarmos a distância percorrida por um móvel com velocidade constante de $50 \; km/h$ viajando a 3 horas teremos a seguinte tabela :

Distância ($km$)	50	100	150
tempo (h)	1	2	3

como $\frac{50}{1}=\frac{100}{2}=\frac{150}{3}=50$, temos que distância e tempo, neste exemplo, são grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)

Uma grandeza $A$ é inversamente proporcional a uma grandeza $B$ se, e somente se, os produtos entre os valores de $A$ e os correspondentes valores de $B$ forem constantes.

Se $A = (a1, a2, a3,\ldots)$ e $B = (b1, b2, b3,\ldots)$, forem grandezas inversamente proporcionais, então:

$$a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 = a_3\cdot b_3 = \ldots = k$$

Exemplo

Se considerarmos que a distância que separa duas cidades $A$ e $B$ é de $300\;km$ e que um móvel viaja de $A$ para $B$ com uma certa velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que o tempo gasto para percorrer essa distância varia conforme a velocidade do móvel.

Velocidade ($km/h$)	50	60	100
Tempo ($h$)	6	5	3

Temos que $50 \cdot 6 = 60 \cdot 5 = 100 \cdot 3$, logo as grandezas velocidade e tempo, neste exemplo, são grandezas inversamente proporcionais.

Pense um Pouco!

• Determine o valor de x nas proporções:
  a) $\frac{x}{4}=\frac{9}{6}$
  b) $\frac{3x+2}{2x-1}=\frac{24}{9}$
  

• Calcule o valor de $x$ e $y$ na proporção $\frac{x}{y}=\frac{2}{5}$, sabendo que $x + y = 42$.

• Determine $x$ e $y$, sabendo que as sucessões de números são diretamente proporcionais:
  
  $$\left\{% \begin{array}{l} 2 \; \; x \;\; 9\\ 3 \; \; 9 \;\; y \end{array}% \right.$$
  
  

Exercícios de Aplicação

1. Determine $m$ e $n$, sabendo que as sucessões numéricas são inversamente proporcionais:

$$\left\{% \begin{array}{l} 3\;\;\;m\;\;9\\ 12\;\;4\;\;n \end{array}% \right.$$

2. Antônio, João e Pedro trabalham na mesma firma há 10, 4 e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma gratificação de R$ 80.000,00 entre os três, em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Quantos reais cada um irá receber?

3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a $1/2$, $1/5$ e $1/7$.

Exercícios Complementares

4. Represente a razão entre:
a) 18 e 12 =
b) 6 m e 4 m =
c) 150 g e 2 kg =
d) 750 litros e 1 m3 =
e) 600 s e 1 hora =
f) 8 km e 1600 m =

5. Um comprimento real de $25\; m$ foi representado num desenho por $10\; cm$. Nesse caso, qual foi a escala usada?
a) 1 : 250
b) 1 : 300
c) 1 : 150
d) 1 : 500
e) n. d. a.

6. A distância entre duas cidades, em linha reta, é $120\;km$ e foi representada num mapa rodoviário por um segmento de $60\;cm$. Qual foi a escala usada nesse mapa?
a) 2 : 125
b) 1 : 120.000
c) 1 : 200.000
d) 1 : 12.000
e) n. d. a.

7. Em geral, num adulto, a altura da cabeça está para a altura do restante do corpo, assim como 1 está para 7. Quanto mede uma pessoa cuja cabeça tem $22\;cm$ de altura?
a) 1,54m
b) 1,60m
c) 1,76m
d) 1,82m
e) n. d. a.