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Matemática B - Aula 03

Determinantes

Determinante é um número que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo símbolo $det$.

Assim, se $A = \left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}\right] $, o determinante de $A$ é indicado por:
$detA = det
\left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}\right] = \left \vert
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}\right\vert $

O cálculo de um determinante é efetuado através de regras específicas que estudaremos mais adiante. É importante ressaltarmos alguns pontos:

  1. Somente às matrizes quadradas é que associamos determinantes.
  2. O determinante não representa o valor de uma matriz. Lembre-se, matriz é uma tabela, e não há significado falar em valor de uma tabela.

Determinante de $1^a$ Ordem

Dada uma matriz quadrada de $1^a$ ordem $M=[a_{11}]$, o seu determinante é o número real $a_{11}$:

\begin{displaymath}
det\; M = \left\vert{a_{11}}\right\vert = a_{11}
\end{displaymath}

Exemplo


\begin{displaymath}M = [5] \Rightarrow det\; M = 5 \; ou \; \left\vert{5}\right\vert = 5 \end{displaymath}

Determinante de $2^a$ Ordem

Dada a matriz $M = \left[
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array} \right] $, de ordem 2, por definição o determinante associado a $M$, determinante de $2^a$ ordem, é dado por:

\begin{displaymath}\left \vert
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array}\right\vert = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\end{displaymath}

Determinante de $3^a$ Ordem

Para o cálculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra prática, conhecida como Regra de Sarrus, que só se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante

\begin{displaymath}D = \left\vert
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \...
..._{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}\right\vert \end{displaymath}

$1^o$ passo:

Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

\epsfig{file=mb/03/sarrus.eps,width=150pt}

$2^o$ passo:

Devemos encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

\epsfig{file=mb/03/sarrus2.eps,width=150pt}

$3^o$ passo:

Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

\epsfig{file=mb/03/sarrus3.eps,width=150pt}

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como:

\begin{eqnarray*}
D &=& (a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32...
...
&-& (a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33})
\end{eqnarray*}

Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento $a_{ij}$ de uma matriz $M$, quadrada de ordem $n>1$, o determinante ${MC}_{ij}$, de ordem $n-1$, associado à matriz obtida de $M$ quando suprimimos a linha e a coluna que passam por $a_{ij}$. Por exemplo, dada a matriz

\begin{displaymath}M = \left[
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array} \right] \end{displaymath}

de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento $a_ {11} \; ({MC}_{11})$, eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

\begin{displaymath}\left \vert
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & ...
...Rightarrow {MC}_{11} = \left\vert {a_{22}} \right\vert = a_{22}\end{displaymath}

De modo análogo, para obtermos o menor complementar relativo ao elemento $a_{12}$, eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

\begin{displaymath}\left \vert
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & ...
...Rightarrow {MC}_{12} = \left\vert {a_{21}} \right\vert = a_{21}\end{displaymath}

Para um determinante de ordem 3, o processo de obtenção do menor complementar é o mesmo utilizado anteriormente, por exemplo, sendo

\begin{displaymath}M = \left[
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
...
... & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}\right] \end{displaymath}

de ordem 3, temos:

\begin{displaymath}{MC}_{11} = \left \vert
\begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23} \\...
...33} \\
\end{array}\right\vert = a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}\end{displaymath}

Cofator

Chama-se de cofator de um elemento $a_{ij}$ de uma matriz quadrada o número $A_{ij}$ tal que

\fbox{$A_{ij}= {(-1)}^{i+j} \cdot
MC_{ij}$}

Exemplo

Considerando $ M = \left[
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}\right]$

calcularemos o cofator $A_{23}$. Temos que $i=2$ e $j=3$, logo: $A_{23}= {(-1)}^{2+3} \cdot MC_{23}$. Devemos calcular $MC_{23}$.

\begin{displaymath}{MC}_{23}
= \left \vert
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\...
...32} \\
\end{array}\right\vert = a_{11} a_{32} - a_{12} a_{31}\end{displaymath}

Assim $A_{23}= {(-1)} \cdot (a_{11} a_{32} - a_{12} a_{31})$

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada $ M={[a_{ij}]}_{m \times n}
\; (m \geq 2)$ pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz $M$ pelos respectivos cofatores.

Desta forma, fixando $j \in \mathbb{N}$, tal que $1 \leq j \leq
m$, temos:

\fbox{$ \det\; M = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} A_{ij} $}
em que $\sum_{i=1}^{m}$ é o somatório de todos os termos de índice $i$, variando de 1 até $m$, $m \in \mathbb{N} $.

Exemplo:

Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace:

\begin{displaymath}D= \left\vert
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -4 \\
-2 & 1 & 2\\
0 & 5 & 6\\
\end{array}%
\right\vert\end{displaymath}

Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, temos: $D= 2{(-1)}^{1+1} \left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
5 & 6 \\
\end{array}...
...3+1}\left\vert
\begin{array}{cc}
3 & -4 \\
1 & 2 \\
\end{array}\right\vert $

$D= 2(+1)(-4) + (-2)(-1)38 +0 = -8 +76 =68$

Observação

Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, obteremos o mesmo número real.

Propriedades dos determinantes

$P_{1}$) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
$P_{2}$) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
$P_{ 3}$) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
$P_{ 4}$) Se os elementos de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
$P_{ 5}$) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila, uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
$P_{6 }$) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
$P_{ 7}$) Multiplicando-se por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
$P_{ 8}$) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
$P_{ 9}$) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
$P_{10 }$) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por ${(-1)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
$P_{ 11}$) Para $A$ e $B$ matrizes quadradas de mesma ordem $n$, $ det(AB) = det \; A \cdot det \; B$. Como $A \cdot
A^{-1} = I$, $det \; A^{-1} = 1/det \; A$.
$P_{ 12}$) Se $k \; \in \; \mathbb{R}$, então $det \; (k
\cdot A) = k^n \cdot det \; A$.

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (ACAFE) O valor do determinante $ \left\vert \begin{array}{cc}
{log_2}^{8} & log 10 \\
4^{-1/2} & {3^{1}}^2 \\
\end{array} \right \vert$ é:
a) $0$
b) $4$
c) $7$
d) $\frac{17}{2}$
e) $\frac{53}{2}$


2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem $2$, $A =
(a_{ij})$ com $a_{ij} = i^2 - j^2$ e $B = (b_{ij})$ com $b_{ij} =
a_{ij} - 3$ se $i > j$, e $b_{ij} = a_{ij} + 3$ se $i \leq j$.
Determine:
a) a matriz $A$
b) a matriz $B$
c) a matriz $A \cdot B$
d) o determinante da matriz $A \cdot B$


3. (UDESC) A partir da matriz $A= {[a_{ij}]}_{2 \times 2}$, onde $a_{ij} = \left\{ { {-1 \;\;\; \mbox{se} \;\;\; i \geq j}
\atop {i + j \;\;\; \mbox{se} \;\;\; i < j }} \right. $, calcular o determinante do produto da matriz $A$ pela sua transposta, ou seja: $det (A \times A^t)$, onde $A^t$ é a matriz transposta de $A$.

Exercícios Complementares


4. (UNIFENAS) Dada a matriz $A = \left[{\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & -4 \\
\end{array} }\right]$ o determinate de sua matriz inversa $A^{-1}$ é:
a) $ -2$
b) $-4$
c) $\frac{1}{2}$
d) $4$
e) $- \frac{1}{4}$


5. (MACK) $A$ e $B$ são matrizes quadrdas de ordem $3$ e $B =
k \cdot A$. Sabe-se que $det \; A = 1,5$ e $det \; B = 96$. Então:
a) $k=64$
b) $k=96$
c) $k= \frac{1}{4}$
d) $k=\frac{3}{2}$
e) $k=4$


6. (PUC) O cofator do elemento $a_{23}$ da matriz $A = \left \vert
{\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{array}}\right\vert$ é:
a) $2$
b) $1$
c) $-1$
d) $ -2$
e) $3$


7. (UDESC) Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem $3$, apresentada abaixo, cujo determinante é igual a $0,75$.

\begin{displaymath}
A = \left[{\begin{array}{ccc}
sen \; x & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & sen \; x & 0 \\
\end{array} }\right]
\end{displaymath}

Considerando $\pi /2 < x < \pi$, determinar o valor de $tg \; x$.


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br