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Matemática B - Aula 02

Operações com Matrizes

Adição

Dadas as matrizes $A$ e $B$, ambas do mesmo tipo ($m \times n$), somar $A$ com $B$ é obter a matriz $A$ + $B$, do tipo $m \times n$, onde cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição de $A$ e $B$. Por exemplo:
Se $A = \left[
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 4 & -2 \\
\end{array}\right] $ e $B= \left[
\begin{array}{ccc}
8 & -7 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
\end{array}\right] $

então


\begin{displaymath}A + B = \left[
\begin{array}{ccc}
2+8 & 3-7 & 5+3 \\
-1+2 & 4+4 & -2+6 \\
\end{array}\right]\end{displaymath}


\begin{displaymath}A + B= \left[
\begin{array}{ccc}
10 & -4 & 8 \\
1 & 8 & 4 \\
\end{array}\right]\end{displaymath}

Propriedades da Adição

Sendo $A$, $B$ e $C$ matrizes do mesmo tipo ($m \times n$), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: $A + B = B + A$
b) associativa: ($A + B$) + C = A + (B + C)
c) elemento neutro: $A + 0 = 0 + A = A$, sendo $0$ a matriz nula $m \times n$
d) elemento oposto: $A + (-A)= (-A) + A = 0$

Subtração

Para entendermos a subtração de matrizes devemos saber o que é uma matriz oposta. A oposta de uma matriz $M$ é a matriz $-M$, cujos elementos são os números opostos de mesma posição de $M$. Por exemplo:

\begin{displaymath}M = \left[
\begin{array}{ccc}
2 & -3 \\
-5 & 7 \\
\end{a...
...
\begin{array}{ccc}
-2 & 3 \\
5 & -7 \\
\end{array}\right]\end{displaymath}

Com a matriz oposta podemos definir a diferença de matrizes:

\begin{displaymath}
A-B = A +(-B)
\end{displaymath}

ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a oposta da segunda. Assim para as matrizes $A$ e $B$ acima, temos:

\begin{displaymath}
A-B = A +(-B)
\end{displaymath}

$A-B = \left[
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 4 & -2 \\
\end{array}\ri...
...eft[
\begin{array}{ccc}
-8 & 7 & -3 \\
-2 & -4 & -6 \\
\end{array}\right] $
Logo,
$A - B = \left[
\begin{array}{ccc}
-6 & 10 & 2 \\
-3 & 0 & -8 \\
\end{array}\right] $

Multiplicação por um Número Real

Multiplicar um número $k$ por uma matriz $A$ é obter a matriz $kA$, cujos elementos são os elementos de $A$ multiplicados, todos por $k$.
$A= \left[
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & -3 \\
-1 & 5
\end{array}\right] ...
...ft[
\begin{array}{cc}
6 & 3 \\
12 & -9 \\
-3 & 15\\
\end{array} \right] $

Propriedades

Sendo $A$ e $B$ matrizes do mesmo tipo $m \times n$ e $x$ e $y$ números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: $x \cdot (yA) = (xy) \cdot A$
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: $x \cdot (A + B) = xA + xB$
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: $(x+y) \cdot A = xA + yA$
d) elemento neutro: $xA = A$, para $x=1$, ou seja, $1 \cdot A = A$

Multiplicação de Matrizes

Dadas as matrizes $A = (a_{ik})m \times n$ e $B = (b_{ik})m \times
p $, define-se como produto de $A$ por $B$ a matriz $C = (c_{ij})m
\times p$ tal que o elemento $c_{ij}$ é a soma dos produtos da i-ésima linha de $A$ pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de $B$.

\fbox{$ C=A \cdot B \Rightarrow c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} (A_{ik}\cdot B_{ik}) $}

Observação

Somente existe o produto de uma matriz $A$ por outra matriz $B$ se o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$. Se existir o produto de $A$ por $B$, o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de $A$ e pelo número de colunas de $B$. Pode existir o produto de $A$ por $B$, mas não existir o produto de $B$ por $A$.

Propriedades

Verificadas as condições de exixtência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
b) distributiva em relação à adição: $A \cdot (B + C) = A \cdot B
+
A \cdot C$ ou $(A + B ) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$
c) elemento neutro: $A \cdot I_n = I_n \cdot A = A$, sendo $I_n$ a matriz identidade de ordem $n$

Geralmente a propriedade comutativa não vale para a multiplicação de matrizes ( $A \cdot B \neq B \cdot A$). Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo $0_{m \times n}$ uma matriz nula, $A \cdot B = 0_{m \times n}$ não implica, necessariamente, que $A = 0_{m \times n}$ ou $ B = 0_{m \times n}$.

Inversão de Matrizes

Dada uma matriz $A$, quadrada, de ordem $n$, se exixtir uma matriz $A'$, de mesma ordem, tal que $A \cdot A' = A' \cdot A = I_n$, então $A'$ é matriz inversa de $A$. Representamos a matriz inversa por $A^{-1}$.

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. Sendo $A = \left(%
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1\\
\end{array} \right)$, determine sua inversa, se exixtir. $A = \left(
\begin{array}{cc}
1/5 & -2/5 \\
2/5 & 1/5\\
\end{array} \right)$


2. (ACAFE) Dada a matriz $A = \left(%
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & -2 \\
\end{array}\right)$, seja $A^t$ a sua matriz transposta. O produto $A \cdot
A^t$ é a matriz:

a) $\left(%
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & -2 \\
\end{array}%
\right) $
b) $ \left(%
\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
1 & -2 \\
\end{array}%
\right)$
c) $\left(%
\begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-2 & 0 \\
\end{array}%
\right) $
d) $\left(%
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 1 \\
\end{array}%
\right) $
e $\left(%
\begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-2 & 8 \\
\end{array}%
\right) $


3. (ACAFE) Considre as matrizes
$ A = \left(%
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & -1 \\
\end{array}%
\right) $, $B = \left(%
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}%
\right)$ e
$C = \left(%
\begin{array}{c}
6 \\
9 \\
\end{array}%
\right)$. Sabendo que $A \cdot B = C$, o valor de $\vert x\vert +\vert y\vert$ é:

a) $15$
b) $1$
c) $57$
d) $9$
e) $39$

Exercícios Complementares


4. Dadas as matrizes $A= \left(%
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
3 & 2 \\
5 & 4 \\
\end{array}%
\right) $ e $ B= \left(%
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
1 & 3 & 4 \\
\end{array}%
\right)$, calcule $X = 2A-3B^t$.


5. A matriz $A = {(a_{ij})}_{3 \times 3}$ é definida, de tal forma que:

\begin{displaymath}a_{ij} = \left\{ { { i-j \;\;\;\mbox{se}\;\; i>j}
\atop {i*j...
...} \;\; i = j} }
\atop { i+j \;\; \mbox{se} \;\; i <j} \right.
\end{displaymath}

Determinar a matriz inversa de $A$.


6. Dada a matriz

\begin{displaymath}M = \left(%
\begin{array}{ccc}
cos \; \theta & - sen \; \the...
...ta & cos \; \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}%
\right) \end{displaymath}

Calcule $M \cdot M^t$.


7. (ITA-SP) Considere $P$ a matriz inversa da matriz $M=\left(%
\begin{array}{cc}
1/3 & 0 \\
1/7 & 1 \\
\end{array}%
\right)$. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz $P$ é:
a) $\frac{9}{4}$
b) $\frac{4}{9}$
c) $4$
d) $\frac{5}{9}$
e) $-\frac{1}{9}$


8. (UECE) O produto da inversa da matriz
$A= \left(%
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{array}%
\right)$ pela matriz $I = \left(%
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}%
\right)$ é igual a:
a) $\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{array}\right)$
b) $\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & -1 \\
\end{array}\right)$
c) $\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{array}\right)$
d) $\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{array}\right)$


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br