next up previous contents
Próximo: Matemática B - Aula Acima: Matemática Anterior: Matemática A - Aula   Sumário

Subseções

Matemática A - Aula 4

Funções Especiais (II)

Função Logarítmica

O logaritmo de um número real e positivo $a$, na base $b$, positiva e diferente de $1$, é o número $x$ ao qual se deve elevar a base $b$ para se obter $a$

\begin{displaymath}\log_b a = x \Longleftrightarrow b^x = a\end{displaymath}

Observação

Aos logaritmos que se indicam com $\log_a$ chamamos de sistema de logaritmos de base $a$. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante é o sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: $\log_{10}$ ou $\log$. Quando o sistema é de base 10, é comum omitir-se a base na sua representação.

Exemplo

Considerando a definição dada, calcular o valor dos logaritmos:

\begin{displaymath}\log_6 36 = 2\end{displaymath}


\begin{displaymath}\log_2 16 = 4\end{displaymath}


\begin{displaymath}\log_3 0 = 1\end{displaymath}


\begin{displaymath}\log_10 1000 = 3\end{displaymath}

Propriedades dos Logaritmos

Mudança de Base

Suponha que apareçam logaritmos de bases diferentes e que precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa operação é chamada mudança de base:

\begin{displaymath}\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}\end{displaymath}

onde $c$ é a nova base.

Exemplo


\begin{displaymath}\log_2 10 = \frac{\log_10 10}{\log_10 2} = \frac{1}{\log_10 2}\end{displaymath}

Representação Gráfica

Ao estudar a função exponencial, vimos que ela é bijetora, portanto admite função inversa, que é a logarítmica. Do estudo das funções inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gráficos são simétricos em relação a bissetriz do 1^ e 3^ quadrantes. Assim, para as funções exponencial e logarítmica, de base $0<a<1$ e $a>1$, temos:

Figura 45.1: Função logarítmica com base $a>1$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=ma/04/1.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Figura 45.2: Função logarítmica com base $0<a<1$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=ma/04/2.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Funções Trigonométricas

Arco de Circunferência

Observemos que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é denominado arco de circunferência. Assim, temos:

arco $AB$= arco $BA$

\epsfig{file=ma/04/fig01.eps,width=150pt}

Os ponto A e B são chamados de extremidades dos arcos.

Medida de um arco

Grau é o arco umitário equivalente a $1/360$ da circunferência que o contém.

\epsfig{file=ma/04/fig02.eps,width=150pt}

Observação: $1^\circ=60'$ e $1'=60''$

Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém.

\epsfig{file=ma/04/fig03.eps,width=150pt}

Observação: O raio da circunferência quando utilizado como instrumento de medida é denominado raio unitário, isto é, se o comprimento de um arco é $x$ raios, sua medida é $x$ radianos. Lembrando que qualquer circunferência tem $360^\circ$, temos que: $360^\circ$ corresponde a $2\pi\; rad$ e $180^\circ$ corresponde a $\pi\; rad$.

Ângulo Plano

É a abertura de duas semi-retas que partem do mesmo ponto.

Ângulo Central de uma Circunferência

É o ângulo que tem o vértice no centro dessa circunferência.

\epsfig{file=ma/04/fig04.eps,width=150pt}

Circunferência Trigonométrica

Uma circunferência orientada, de raio unitário ($r=1$), sobre a qual um ponto $A$ é a origem de medida de todos os arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica. Vamos considerar uma circunferência cujo centre coincide com a origem do sistema cartesiano e o ponto $A(1,0)$, que é a origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir:

\epsfig{file=ma/04/fig05.eps,width=150pt}

Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos de mesma medida, numerados no sentido anti-horário. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, também numeradas no sentido anti-horário.

Função Seno

Chamamos de função seno a função $f: R \rightarrow R$ que, a cada número real $x$, associa o seno desse número:

\begin{displaymath}f(x)=sen  x\end{displaymath}

O domínio dessa função é $\mathbb{R}$ e a imagem é intervalo [-1,1], visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário.

Sinal da função seno

O sinal da função seno é dada seguindo o esquema abaixo:

\epsfig{file=ma/04/fig06.eps,width=150pt}

Função Cosseno

Chamamos de função cosseno a função $f: R \rightarrow R$ que, a cada número real $x$, associa o cosseno desse número.

\begin{displaymath}f(x)=\cos x\end{displaymath}

O domínio dessa função é $\mathbb{R}$ e a imagem é o intervalo real [-1,1], visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário.

Sinal da Função Cosseno

O sinal da função cosseno é dada seguindo o esquema abaixo:

\epsfig{file=ma/04/fig07.eps,width=150pt}

Função Tangente

A função $f$ definida em $\mathbb{R}$ que a cada número $x$ associa a tangente desse número:

\begin{displaymath}f(x)=\tan x\end{displaymath}

O domínio da função $tan\; x$ é $\mathbb{R}-\{n\pi/2\}$, com $n=0,\pm 1,
\pm 2, \ldots$, e a imagem da função é $\mathbb{R}$.

Sinal da Função Tangente

O sinal da função tangente é dada seguindo o esquema abaixo:

\epsfig{file=ma/04/fig08.eps,width=150pt}

Cotangente

Por definição temos:

\begin{displaymath}cotg\; x = \frac{1}{tan\; x}\end{displaymath}

para todo $x \vert tan\; x\neq 0$

Secante

Por definição temos:

\begin{displaymath}sec\; x = \frac{1}{\cos x}\end{displaymath}

para todo $x \vert cos\; x\neq 0$

Cossecante

Por definição temos:

\begin{displaymath}cossec\; x = \frac{1}{sen\; x}\end{displaymath}

para todo $x \vert sen\; x\neq 0$

Relações trigonométricas


\begin{displaymath}tan x = frac{sen\; x}{cos \; x}\end{displaymath}


\begin{displaymath}sen^2 x + cos^2 x = 1\end{displaymath}


\begin{displaymath}1 + tan^2 x = sec^2 x\end{displaymath}


\begin{displaymath}1 + cotan^2 x = cossec^2\end{displaymath}

Transformações Trigonométricas

Fórmulas da Adição

Sejam $a$ e $b$ dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valem para esses arcos as seguintes identidades:

\begin{displaymath}sen\; (a\pm b)=sen\;a \cdot cos\; b \pm sen \; b \cdot cos \; a\end{displaymath}


\begin{displaymath}cos\; (a\pm b)=cos\;a \cdot cos\; b \pm sen \; a \cdot sen \; b\end{displaymath}


\begin{displaymath}tan\; (a\pm b)=\frac{tan\; a\; \pm\; tab b}{1\mp tan\; a \cdot tan\; b}\end{displaymath}

Lei dos Senos

É a relação válida para qualquer triângulo que se traduz pela seguinte fórmula:

\begin{displaymath}\frac{a}{sen\; A}=\frac{b}{sen\; B}=\frac{c}{sen\; C}\end{displaymath}

\epsfig{file=ma/04/senos.eps,width=150pt}

Lei dos Cossenos

É a relação válida para qualquer triângulo que se traduz pela seguinte fórmula:

\begin{displaymath}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\; A\end{displaymath}

Com essa fórmula, dadas as medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado de qualquer triângulo. Como se pode ver, é uma generalização do Teorema de Pitágoras.

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (FCC-Ba) Indica-se por $\log x$ o logaritmo do número $x$ na base $10$. A equação $x^{\log x}= 10000$ admite duas raízes:
a) iguais
b) opostas entre si
c) inteiras
d) cujo produto é 1
e) cuja soma é 101


2. (MACK-SP) Se

\begin{displaymath}\frac{1}{\log_2 x}+\frac{1}{\log_3 x}+\frac{1}{\log_6 x}=2\end{displaymath}

então $x^2$ é igual a:
a) 25
b) 36
c) 16
d) 81
e) 100

Exercícios Complementares


3. (FGV-SP) Determine $a$ de forma que se tenha simultaneamente sem $x=1/a$ e $\cos x = \sqrt{1+a}/a$
a) $a=-1$ ou $a=-2$
b) $a=1$ e $a=2$
c) $a=-1$ e $a=2$
d) $a=2$ e $a=-2$
e) $a=1$ ou $a=-1$


4. (UEL-PR) Para todo número real, tal que que $0<x<1/2$, a expressão

\begin{displaymath}\frac{sec\; x + \; tg\; x}{cos\; x +\; cot\; x}\end{displaymath}

é equivalente a:
a) $(sen\; x)(cotg\; x)$
b) $(sec\; x)(cotg\; x)$
c) $(cos\; x)(tg\; x)$
d) $(sec\; x)(tg\; x)$
e) $(sen\; x)(tg\; x)$


next up previous contents
Próximo: Matemática B - Aula Acima: Matemática Anterior: Matemática A - Aula   Sumário


Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br