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Matemática A - Aula 3

Funções Especiais

Função Modular

O módulo, ou valor absoluto, de um número real $x$, indicado por $\vert x\vert$, é definido assim:

\begin{displaymath}\vert x\vert=\left\{{x,\mbox{ se, } x\geq 0} \atop {-x,\mbox{ se, } x<0}\right.\end{displaymath}

Pela definição, podemos concluir que o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero.

Cuidado!


\begin{displaymath}\sqrt{x^2}=\pm \vert x\vert\end{displaymath}

Exemplos


\begin{displaymath}\vert-10\vert=10\end{displaymath}


\begin{displaymath}\vert 1\vert=1\end{displaymath}


\begin{displaymath}\vert 1/3\vert=1/3\end{displaymath}


\begin{displaymath}\vert\vert=0\end{displaymath}

Definimos então a unção modular se a cada $x$ real se associa $\vert x\vert$, ou seja:

\begin{displaymath}f(x) = \vert x\vert\end{displaymath}

.

Observa-se que o domínio da função módulo é $\mathbb{R}$ e a imagem $\mathbb{R}_+$.

Representação Gráfica

Pela definição de $\vert x\vert$, temos de considerar duas sentenças para $f(x)$, de $R em R$:

\begin{displaymath}f(x) =\left\{{x,\mbox{ se, } x\geq 0} \atop {-x,\mbox{ se, } x<0}\right.\end{displaymath}

Construindo os dois gráficos num único plano cartesiano, obtemos o gráfico de $f(x)=\vert x\vert$:

Figura 44.1: Função módulo: $f(x)=\vert x\vert$.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=ma/03/mod.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Função Exponencial

A função $f: R \rightarrow R$ dada por $f(x)=a^x$ (com $a\neq 1$ e $a>0$) é denominada função exponencial de base $a$ e definida para todo $x$ real. Assim, são funções exponenciais:

\begin{displaymath}f(x)=2^x\end{displaymath}


\begin{displaymath}g(x)=(1/3)^x\end{displaymath}

Gráfico da Função Exponencial

Vamos representar no plano cartesiano o gráficos das funções $f(x)=2^x$ e $f(x)=(1/2)^x$.

Figura 44.2: Funções exponenciais: $f(x)=2^x$ e $g(x)=(1/2)^x$.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=ma/03/exps.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Características

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (ITA-SP) Considere a equação $\vert x\vert= x - 6$. Com respeito à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo [1,2]
b) a solução pertence ao intervalo [-2,-1]
c) a solução pertence ao intervalo ]-1,1[
d) a solução pertence ao intervalo [3,4]
e) nehuma resposta é correta


2. (PUC-SP) A equação $\vert 2x-1\vert= 5$ admite:
a) duas raízes positivas
b) das raízes negativas
c) ua raiz positiva e outra negativa
d) smente uma raiz real e positiva
e) smente uma raiz real e negativa


3. (PUC-PR) A equação $16\cdot 5^{2x} = 25 \cdot 20^x$, onde $x$ pertence aos reais, admite:
a) os números -2 e 2 como soluções
b) apenas o número 2 como solução
c) apenas o número 12 como solução
d) os números 2 e 12 como soluções
e) apenas o número como solução

Exercícios Complementares


4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os números reais $x$ e $y$,
a) se $\vert x\vert<\vert y\vert$, então $x<y$
b) $\vert xy\vert=\vert x\vert\vert y\vert$
c) $\vert x+y\vert=\vert x\vert+\vert y\vert$
d) $\vert-\vert x\vert\vert=-x$
e) se $x<0$, então $\vert x\vert<x$


5. (PUC-SP) Resolvendo a equação $4 +4 = 5\cdot 2^x$ , obtemos:
a) $x_1=0$ e $x_2 =1$
b) $x_1=1$ e $x_2=4$
c) $x_1=0$ e $x_2=2$
d) $x_1=-1$ e $x_2=-2$
e) $x_1=-4$ e $x_2=-5$


6. (PUC-MG) Se $2^x=4^y$ e $25^x = 25\cdot 5^y$, o valor de $x+y$ é:
a) 4/3
b) 2/3
c) 1/3
d) 1
e) 2
f) -3


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br