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Matemática A - Aula 02

Funções Polinomiais

Função Polinomial de $1^0$ Grau

Uma função $f$ com $A$,$B \subset R$ é uma função polinomial do $1^0$ grau se a cada $x \in A$ se associa o elemento $(ax+b) \in
B$, com a pertencendo a ${\mathbb{R}}^*$ e $b$ pertencendo a $\mathbb{R}$:

\begin{displaymath}
f: A \rightarrow B \; \mbox{definida por}\; f(x)=ax+b \; \mbox{ou}
\; y =ax+b
\end{displaymath}

Na sentença matemática $y=ax+b$, as letras $x$ e $y$ representam as variáveis, enquanto $a$ e $b$ são denominadas coeficientes.

Na função real $f(x)=ax+b$, $a$ é o coeficiente angular e $b$ é o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos se a função é crescente ($a>0$) ou descrescente ($a<0$). O coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo $0y$.

\epsfig{file=ma/02/fig01.eps,width=150pt}

Gráfico

Para construirmos gráficos de funções devemos seguir os seguintes passos:

Tendo encontrado o $y$, temos agora o par ordenado $(x,y)$ que devemos encontrar no plano cartesiano.

$x$ $y=x-2$ $(x,y)$
0 $y=0-2=-2$ $(0,-2)$
1 $y=1-2=-1$ $(1,-1)$
2 $y=2-2=0$ $(2,0)$

\epsfig{file=ma/02/fig02.eps,width=150pt}

Zero da Função de $1^o$ Grau

Denomina-se zero ou raiz da função $f(x)=ax+b$ o valor $x$ que anula a função, isto é, torna $f(x)=0$. O zero da função de primeiro grau é único e corresponde a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo $x$.

$x$ $y=x-2$ $(x,y)$
0 $y=0-2=-2$ $(0,-2)$
1 $y=1-2=-1$ $(1,-1)$
2 $y=2-2=0$ $(2,0)$

Observando o gráfico, verificamos que: $f(x)=0$ para $x = 2$.

\epsfig{file=ma/02/fig03.eps,width=150pt}

Estudo do Sinal

Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar um exemplo:
Dada a função $f(x)=2x-4$, determinar os valores reais de $x$ para os quais:
a) $f(x)=0$
b) $f(x)>0$
c) $f(x)<0$
Solução: Podemos verificar que a função é crescente pois $a=2 > 0$. O zero da função é: $2x-4=0 \Rightarrow 2x=4
\Rightarrow x=2$

A reta corta o eixo $x$ no ponto de abscissa $x = 2$. Observando essas considerações, vamos fazer um esboço do gráfico da função:

Figura 43.1: À direita do eixo $y$ os pontos da reta têm ordenada positiva e à esquerda os pontos da reta têm ordenada negativa.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=ma/02/fig04.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Resposta:
$f(x) = 0 \;\;\;\;\; x =2$
$f(x) > 0 \; \mbox{para}\; \{x \in \mathbb{R} /x>2\}$
$f(x) < 0 \; \mbox{para}\; \{x \in \mathbb{R} /x<2\}$

Função Polinomial de $2^o$ grau

A função dada $f(x):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=a x^2+bx+c$, com $a$,$b$,$c$ reais e $a\neq 0$, denomina-se função do $2^o grau$ ou função quadrática.
Exemplos:

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^2 - 4x -3 \; \; (a=1,b=-4,c=-3) \\
f(x) &=& -2x^2 +5x+1(a=-2,b=5,c=1)
\end{eqnarray*}

O gráfico da função de $1^o$ grau é uma curva aberta chamada parábola. Se o gráfico da função tem a parábola com concavidade voltada para cima, $a>0$.

\epsfig{file=ma/02/fig05.eps,width=150pt}

Se o gráfico da função tem a parábola com concavidade voltada para baixo, $a<0$.

\epsfig{file=ma/02/fig06.eps,width=150pt}

Zero da Função de 2^Grau

Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de $x$ que anulam a função, ou seja, que tornam $f(x)=0$.

Para determinar os zeros de $f(x)=a x^2+bx+c$, basta fazer $f(x)=0$:
$a x^2 +bx+c=0 \Rightarrow x= \frac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Rightarrow x= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \Rightarrow x=
\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $
em que $\Delta = b^2 - 4ac$.

Assim, $x_1$ e $x_2$ são as abscissas nas quais a parábola corta o eixo $x$, ou seja, $(x_1,0)$ e $(x_2,0)$ são os pontos de intersecção da parábola com o eixo $x$.

Gráfico Parabólico

No gráfico abaixo, da função $f(x)= x^2 - 8x + 12$, marcamos um ponto $v$. Esse ponto tem o nome de vértice da parábola. As coordenadas de $V(x_v, y_v)$ são dadas por:

\epsfig{file=ma/02/fig07.eps,width=150pt}


\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}{l}
x_v= -\frac{b}{2a}\\
y_v=-\frac{\De...
...y}%
\right\} v\left({- \frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}}\right)
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}{l}
x_v= -\frac{-8}{2}\\
y_v=-\frac{16}{4}\\
\end{array}%
\right\} v\left({4,-4}\right)
\end{displaymath}

Se traçarmos uma reta paralela ao eixo $y$ que passe pelo vértice, estaremos determinando o eixo de simetria da parábola.

Intersecção com o Eixo $y$

Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir $x$ por $0$ (zero) na função:
$y=ax^2+bx+c \Rightarrow y=a{(0)}^2 +b(0) + c \Rightarrow y=c $

Exemplo

Para $f(x)= x^2 - 8x + 12$ as coordenadas para o ponto de intersecção com o eixo y:
$y =x^2-8x+12 \Rightarrow y={(0)}^2 - 8(0)+12 \Rightarrow y=12$

Então, encontramos $(0,12)$.

Mínimo ou Máximo da Parábola

Quando $y$ assume o menor valor da função, ele é a ordenada do ponto mínimo da função ($y_v$):

\epsfig{file=ma/02/fig08.eps,width=150pt}

Quando $y$ assume o maior valor da função, ele é a ordenada do ponto máximo da função ($y_v$):

\epsfig{file=ma/02/fig09.eps,width=150pt}

Estudo do Sinal

Para estudar o sinal da função $f(x)=a x^2+bx+c$, $a\neq 0$, temos que considerar o valor do discriminante ($\Delta$) e o sinal do coeficiente $a$. Assim:

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (FGV-SP) O gráfico da função $f(x)= mx + n$ passa pelos pontos $A(1,- 2)$ e $B(4,2)$. Podemos então afirmar que:
a) $m + n = - 2$
b) $m - n = - 2$
c) $m= 3/4$
d) $n=5/2$
e) $m.n= -1$


2. (PUC-SP) Para que a função do $1^o$ grau dada por $f(x)=
(2-3k)x+2$ seja crescente, devemos ter:
a) $k=2/3$
b) $k<2/3$
c) $k>2/3$
d) $k<-2/3$
e) $k>-2/3$


3. (UFC-CE) Considere a função $f: R \rightarrow R$, definida por $f(x)= x^2 - 2x + 5$. Pode-se afirmar corretamente que:
a) o vértice do gráfico de $f$ é o ponto ($1,4$).
b) $f$ possui dois zeros reais distintos.
c) $f$ atinge um máximo para $x=1$.
d) O gráfico de $f$ é tangente ao eixo das abscissas.

Exercícios Complementares


4. (UFPA) A função $y=ax+b$ passa pelo ponto ($1,2$) e intercepta o eixo $y$ no ponto de ordenada 3. Então, $a-2b$ é igual a:
a) -12
b) -10
c) -9
d) -7
e) 0


5. (Mack-SP) Um valor $k$ para que uma das raízes da equação $x^2 - 4kx +6k=0$ seja o triplo da outra é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5


6. (Santa Casa-SP) As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola de equação $y= - 128x^2 + 32x +6$. A área do retângulo é:
a) 1
b) 8
c) 64
d) 128
e) 256


7. O lucro mensal de uma empresa é dado por $L= - x^2+30x-5$, onde $x$ é quantidade mensal vendida.
a) Qual é o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br