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Física E - Aula 6

Condutores em Equilíbrio

Vamos estudar o campo elétrico e o potencial elétrico de uma distribuição de cargas em um condutor em equilíbrio eletrostático.

Para estudar os campos elétricos, vamos usar não sistemas de cargas puntiformes e sim distribuições de cargas em condutores. Deve-se considerar que estes estão em equilíbrio eletrostático, ou seja, nenhuma carga está sendo colocada ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de cargas já cessou.

Equilíbrio Eletrostático

Um condutor está em equilíbrio eletrostático quando nele não ocorre movimento ordenado de cargas elétricas. Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig. 25.1, uma a carga elétrica $Q$, a repulsão mútua das cargas elementares que constituem $Q$ faz com que elas fiquem tão longe uma da outra quanto possível. O maior afastamento possível corresponde a uma distribuição de cargas na superfície externa do condutor, situação, aliás, que destacamos nas figuras de condutores que até agora apareceram em nossas aulas. Nessa configuração de cargas, todas na superfície, o condutor possui a sua menor energia potencial elétrica.

Figura 25.1: Um condutor carregado com carga positiva.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fe/06/condutor.eps,width=150pt}
\end{center}
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O Campo Interno

No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato, o campo elétrico é nulo em todos os pontos, ou seja, $\vec{E}=\vec{0}$.

Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se houvesse campo elétrico no interior do condutor, ele agiria nos elétrons livres, os quais teriam um movimento ordenado sob sua influência, contrariando o conceito de condutor em equilíbrio eletrostático.

O Campo Externo

Contudo, da sua superfície para fora, o campo elétrico não será nulo. Porém, nesses pontos, o vetor campo elétrico $\vec{E}$ deve ser normal à superfície, como em $A$, na Fig. 25.1. Se o vetor campo fosse como $\vec{E}'$ no ponto $B$ da mesma figura, ele teria uma componente tangencial à superfície do condutor, o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo da superfície.

O Poder das Pontas

Nas regiões pontiagudas de um condutor carregado (região $C$ da Fig. 25.1), a densidade de carga, isto é, a concentração de cargas elétricas por unidade de área superficial é mais elevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhanças o campo elétrico é mais intenso.

Quando o campo elétrico nas vizinhanças da ponta atinge determinado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor se descarrega através da ponta. Esse fenômeno recebe o nome de ``poder das pontas". É nele que se baseia, por exemplo, o funcionamento dos pára-raios.

Condutor Oco

Evidentemente, não importa se o condutor é maciço ou oco (Fig. 25.2): o campo elétrico no interior do metal é sempre nulo e as cargas se distribuem na sua superfície externa.

Figura 25.2: Um condutor oco.
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\epsfig{file=fe/06/oco.eps,width=150pt}
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Potencial Elétrico

O potencial elétrico em todos os pontos, internos e superficiais, de um condutor em equilíbrio eletrostático, é constante. Assim, para o condutor da Fig. 25.1, temos $V_A = V_B = V_C = V_D$.

Condutor Esférico

Para se determinar o vetor campo elétrico e o potencial elétrico em pontos externos a um condutor esférico eletrizado, supõe-se sua carga $Q$ puntiforme e concentrada no centro:

\begin{displaymath}E_{ext} = k\frac{Q}{r^2}\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}V_{ext} = k\frac{Q}{r}\end{displaymath}

O potencial elétrico do condutor esférico de raio $R$ é o potencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado pelo valor fixo:

\begin{displaymath}V_{int,\; sup} = k\frac{Q}{R}\end{displaymath}

Blingdagem Eletrostática

Considere um condutor oco $A$ em equilíbrio eletrostático e, em seu interior, o corpo C (Fig. 25.3). Como o campo elétrico no interior de qualquer condutor em equilíbrio eletrostático é nulo, decorre que $A$ protege o corpo $C$, no seu interior, de qualquer acão elétrica externa. Mesmo um corpo eletrizado $B$ externo induz cargas em $A$, mas não em $C$. Desse modo, o condutor $A$ constitui uma blindagem eletrostática para o corpo $C$.

Figura 25.3: A blindagem eletrostática.
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\epsfig{file=fe/06/blind.eps,width=150pt}
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Uma tela metálica envolvendo certa região do espaço também constitui uma blindagem satisfatória - a chamada ``gaiola de Faraday".

A blindagem eletrostática é muito utilizada para a proteção de aparelhos elétricos e eletrônicos contra efeitos externos perturbadores. Os aparelhos de medidas sensíveis estão acondicionados cm caixas metálicas, para que as medidas não sofram influências externas. As estruturas metálicas de um avião, de um automóvel e de um prédio constituem blindagens eletrostáticas.

Como Funciona o Pára-Raios?

O pára-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais eficiente para as descargas elétricas, protegendo casas, edifícios, depósitos de combustíveis, linhas de transmissão de energia elétrica, etc.

Saiba Mais

O pára-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l706-1790). político, escritor e cientista norte-americano. Atualmente, é constituído essencialmente de uma haste condutora disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma ou mais pontas de material com elevado ponto de fusão, a outra extremidade da haste é ligada, através de condutores metálicos, a barras metálicas que se encontram cravadas, profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver sobre as pontas do pára-raios, induz nelas cargas elétricas intensificando o campo na região já ionizada pela descarga líder. Produz-se a descarga principal através do pára-raios.

\epsfig{file=fe/06/p_raio.eps,width=150pt}

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (Cefet-BA) Considere um condutor metálico com a forma indicada na figura. O condutor está eletrizado positivamente e em equilíbrio eletrostático. Observe os pontos $A$, $B$ e $C$. Quais são as afirmações corretas?
a) ( ) O campo elétrico em A é nulo.
b) ( ) A densidade de cargas elétricas é maior em C do que em B.
c) ( ) O campo elétrico em B é mais intenso do que em C.
d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial elétrico.
e) ( ) As cargas elétricas em excesso distribuem-se na superfície externa do condutor.

\epsfig{file=fe/06/q1,width=150pt}


2. Considere uma esfera metálica oca provida de um orifício e eletrizada com carga $Q$. Uma pequena esfera metálica neutra é colocada em contato com a primeira. Quais são as afirmações corretas?
a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera não se eletriza.
b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza.
c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, após um contato interno ficaria neutra.
d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera eletrizada, a carga elétrica da pequena esfera aumenta.


3. (Efei-MG) Um condutor esférico de raio $R = 30\; cm$ está eletrizado com carga elétrica $Q = 6,0\; nC$. O meio é o vácuo ( $k = 9 \times 10^9\; N\cdot m^2/C^2$). Determine:
a) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo elétrico no centro da esfera;
b) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo elétrico num ponto externo e situado a $50\;
cm$ do centro da esfera.

Exercícios Complementares


4. (Efei-MG) Duas esferas metálicas, $A$ e $B$, de raios $R$ e $3R$, estão eletrizadas com cargas $2Q$ e $Q$, respectivamente. As esferas estão separadas de modo a não haver indução entre elas e são ligadas por um fio condutor.
a) Quais as novas cargas após o contato?
b) Qual opotencial elétrico de cada esfera, depois do contato?


5. (ACAFE-SC) Duas esferas metálicas, $A$ e $B$, de raios $10\; cm$ e $20\; cm$, estão eletrizadas com cargas elétricas $5,0\; nC$ e $-2,0\; nC$, respectivamente. As esferas são postas em contato. Determine, após atingir o equilíbrio eletrostático:
a) as novas cargas elétricas das esferas;
b) o potencial elétrico que as esferas adquirem.
c) Houve passagem de elétrons de $A$ para $B$ ou de $B$ para $A$? Explique.


6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas metálicas idênticas, $A$ e $B$, de cargas elétricas $5,0\times 10^{-6} \; C$ e $3,0\times 10^{-6}\; C$, respectivamente. As esferas são colocadas em contato.
a) Determine o número de elétrons que passou de um condutor para outro.
b) Qual das esferas recebe elétrons?


7. Sabendo-se que existe um campo elétrico na superfície da Terra, vertical para baixo igual a $100
\; N/C$. Dado o raio da Terra $R=6.400\; km$, determine:
a) O potencial elétrico da Terra (do chão);
b) A carga elétrica total da Terra.

Capacidade Elétrica

Denomina-se capacidade elétrica ou capacitâcia de um corpo condutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas. Da mesma forma que a quantidade de moles de um gás que um balão pode conter depende da pressão a que o gás estiver submetido e também das dimensões e forma do balão, a capacidade elétrica dependerá das dimensões e forma do condutor.

A experiência mostra que, se fornecemos a um condutor cargas $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, ..., $Q$, o potencial adquirido pelo mesmo será $V_1$, $V_2$, $V_3$, ..., $V$, sempre proporcionaias à carga $Q$ fornecida. Isso quer dizer que o quociente $Q/V$ é constante (Fig. 25.4).

Figura 25.4: Capacitor metálico carregado com carga positiva $+Q$.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fe/07/capacitor.eps,width=150pt}
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Essa constante de proporcionalidade $C$ é denominada capacitância do condutor.

Unidades SI

No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:

\begin{displaymath}1\; F = 1\; faraday = 1\; coulomb / 1\; volt = 1\; Farad\end{displaymath}

A capacitância de um condutor que recebe uma carga de $l\; coulomb$, adquirindo um potencial de $l\; volt$, é igual a $l\; F$. Na prática, os capacitores tem capacitância da ordem típica de $\mu Farad$.

Capacitores

Na prática, é impossível obter condutores de capacitância elevada, sem que suas dimensões sejam extraordinariamente grandes. No entanto, é possível obtermos dispositivos, de dimensões pequenas, capazes de armazenar uma razoável quantidade de cargas com diferenças de potencial não muito grandes. Esses dispositivos são denominados capacitares ou condensadores.

Um capacitor é um par de condutores, separados por um isolante (dielétrico).

Os condutores que constituem o capacitor são denominados armaduras do capacitor.

A classificação dos capacitores é dada em função da forma de suas armaduras e da natureza do dielétrico que existe entre as mesmas.

Em todo capacitor, existe uma relação constante entre o módulo da carga (que é a mesma em valor absoluto nas duas armaduras) e a d.d.p. $V$ entre as armaduras. Essa relação é denominada capacitância do condensador.

\begin{displaymath}C = Q / V\end{displaymath}

Num circuito, os capacitores serão representados por duas barras paralelas.

Capacitores Planos

O capacitor plano é constituído por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um dielétrico qualquer (ar, mica, papel, polímeros, etc.)

\epsfig{file=fe/07/plano.eps,width=150pt}

Seja $A$ a área de cada armadura e $d$ a distância entre as mesmas. Consideremos inicialmente que haja vácuo entre as placas. É possível demonstrar, mediante a aplicação da lei de Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas é dado por:

\begin{displaymath}E = \frac{Q}{\epsilon_0 A}\end{displaymath}

onde $\epsilon _0$ é a constante de permitividade elétrica do vácuo,

\begin{displaymath}\epsilon_0= 8,85 \times 1O^{-12}\; F/m\end{displaymath}

no SI.

Relação Entre $k$ e $\epsilon _0$

As constantes $k$, a constante elétrica da lei de Faraday, e $\epsilon _0$, a permissividade elétrica do vácuo, estão intimamente relacionadas, e pode-se mostrar que:

\begin{displaymath}k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\end{displaymath}

e como $\epsilon _0$ é dado em $F/m$, então pode-se escrever a constante $k$ em $m/F$, já que estas constantes são inversamente proporcionais.

\epsfig{file=fe/07/cpp.eps,width=150pt}

Conforme já estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as placas vale $V = Ed$. Assim:

\begin{displaymath}V = \frac{Qd}{\epsilon_0 A}\end{displaymath}

A capacitância do capacitor plano é dada por:

\begin{displaymath}C = \frac{\epsilon_0 A}{d}\end{displaymath}

Observe que a capacitância obtida é diretamente proporcional à área $A$ das placas, e inversamente proporcional à sua distância $d$.

Se, em vez de ar ou vácuo, houver entre as armaduras um dielétrico de constante dielétrica $b$, a capacitância de um condensador plano será maior, dada por:

\begin{displaymath}C = \frac{b\epsilon_0 A}{d}\end{displaymath}

Para que o dielétrico tenha efeito sobre a capacitância, ele deve ser colocado na região de campo elétrico do capacitor. Alguns dielétricos como a mica e poliéster chegam a aumentar a capacitância em até 100 vezes o seu valor no vácuo (sem dielétrico).

Capacitor Esférico Simples

Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condutora de raio $R$, sua capacitância será

\begin{displaymath}C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{kQ/R}=\frac{R}{k}=4\pi\epsilon_0 R\end{displaymath}

ou seja, a capacitância da esfera é diretamente proporcional ao seu raio $R$.

\epsfig{file=fe/07/esf.eps,width=150pt}

Exemplo

Vamos calcular a capacitância de uma esfera condutora de raio igual a $1,0\; m$.

\begin{displaymath}C=\frac{R}{k}=\frac{1,0\; m}{9,0\times 10^9\; m/F}\approx 0,11\; nF\end{displaymath}

Qual seria então o raio da esfera com capacitância de $1,0\; F$? Como $C=R/k$ então

\begin{displaymath}R=kC=(9,0\times 10^9\; m/F)(1,0\; F)=9,0\times 10^9\; m\end{displaymath}

Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de $6.4\times 10^6\; m$, veremos que o capacitor teria que ter um raio com aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra!

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


8. Três condutores, de capacidades $2\; pF$, $3\; pF$ e $5\; pF$, estão eletrizados com cargas de $4\;\mu C$, $12\;\mu C$ e $-20\;\mu C$, respectivamente.
a) Determine os potenciais elétricos desses corpos.


9. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capacitância $C$. Entre suas armaduras há uma distância $d$. Qual será sua capacidade se a distância entre suas placas for aumentada para $2d$?


10. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade $C=100\; pF$, área das armaduras $A=100\; cm^2$, e dielétrico com $b=5$. Quando a ddp entre as armaduras for igual a $50V$, calcule a intensidade do campo elétrico no interior do dielétrico. Dado: $\epsilon_0=8,85 \times 1O^{-12} \; F/m$.

Exercícios Complementares


11. (UFPR) Uma partícula de massa $2,0 \times 10^{-10}\; kg$ com carga positiva e igual a $2,0 \times 1O^{-6}\; C$ penetra através de um orifício, com velocidade de $1,0 \times 10^4\; m/s$, numa região onde existe um campo elétrico uniforme de módulo $4 \times 10^5\; N/C$. A distância entre as placas vale $10\; cm$. Determine a energia cinética com que a partícula atinge a segunda placa, andando contra o campo elétrico.


12. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade $C$ exibe, entre seus terminais, uma diferença de potencial $V$. A carga elétrica armazenada nesse capacitor é dada por:
a) $C/V$
b) $V/C$
c) $C^2V$
d) $CV^2$
e) $CV$


13. (Puccamp-SP) Um capacitor de $8,0 \times 10^{-6}\; F$ é sujeito a uma diferença de potencial de $30\; V$. A carga que ele acumulou vale:
a) $1,2x10^{-4}\; C$
b) $2,4x10^{-4}\; C$
c) $2,7x10^{-7}\; C$
d) $3,7x10^6\; C$
e) $7,4x10^6\; C$


14. (UF-ES) Um equipamento elétrico contém duas pilhas de $1,5\; V$ em série, que carregam um capacitor de capacitância $6,0\times 10^{-5}\; F$. Qual a carga elétrica que se acumula no capacitor, em coulombs?


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br