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Física D - Aula 5

Movimento Circular Uniforme (MCU)

Em um movimento onde a trajetória é uma circunferência (ou arco de uma circunferência) e a velocidade escalar é constante, este é denominado como movimento circular uniforme (MCU). Neste movimento a partícula é localizada pela sua posição angular $\theta$, que varia uniformemente com o tempo.

Figura 18.1: O movimento circular uniforme (MCU).
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fd/05/mcu.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o tempo todo, porém mantém fixo o seu módulo (velocidade escalar).

Movimento Periódico

Um movimento é chamado periódico quando todas as suas características (posição, velocidade e aceleração) se repetem em intervalos de tempo iguais.

O movimento circular e uniforme é um exemplo de movimento periódico, pois, a cada volta, o móvel repete a posição, a velocidade e a aceleração.

Período ($T$)

Define-se como período ($T$) o menor intervalo de tempo para que haja repetição das características do movimento. No movimento circular e uniforme, o período é o intervalo de tempo para o móvel dar uma volta completa.

Como é uma medida de tempo, a unidade SI do período é o segundo.

Frequência ($f$)

Define-se a frequência ($f$) de qualquer movimento periódico como o número de vezes que as características do movimento se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, $1\; s$.

No movimento circular uniforme, a frequência é o número de voltas realizadas na unidade de tempo. Se o móvel realiza $n$ voltas em um intervalo de tempo $t$, a frequencia $f$ é dada por:

\begin{displaymath}f=\frac{n}{t}\end{displaymath}

e por definição, como no MCU o tempo de uma volta completa ($n=1$) é o próprio período do movimento, temos que

\begin{displaymath}f=\frac{1}{T}\end{displaymath}

A unidade SI da frequência $f$ é $s^{-1}$ ou também chamado de hertz, cuja abreviação é $Hz$. Pode-se também medir a frequência em rotações por minuto ou rpm.

Exemplo

Se um movimento tem frequência de $2,0\; Hz$, então são dadas duas voltas completas por segundo, ou seja, o período do movimento deve ser de $1/2\; s$. Como o minuto tem 60 segundos, esse movimento terá uma frequência de $120\; rpm$.

Velocidade Escalar $v$

Para uma volta completa, em uma circunferência de raio $R$, temos que

\begin{displaymath}v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2\pi R}{T}\end{displaymath}

logo, para o MCU temos

\begin{displaymath}v=2\pi R f\end{displaymath}

Velocidade Angular $\omega $

Define a velocidade angular $\omega $ de forma semelhante à definição de velocidade $v$, só que nesse caso estamos interessados na variação da posição angular ocorrida no MCU. Então:

\begin{displaymath}\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\theta-theta_0}{t}\end{displaymath}

Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular será $2\pi$ e $t=T$, temos

\begin{displaymath}\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\end{displaymath}

Unidades SI

A velocidade angular $\omega $ é medida em $rad/s$ no SI.

Relação entre $v$ e $\omega $

Como a velocidade escalar no MCU é $v=2\pi Rf$ e $\omega=2\pi f$, então

\begin{displaymath}v = \omega R\end{displaymath}

Ou seja, a velocidade escalar $v$ é proporcional à velocidade angular $\omega $.

Vetores no MCU

Já vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem módulo constante, porém direção variável e, portanto o vetor ${\bf v}$ é variável. Sendo a velocidade vetorial variável, vamos analisar a aceleração vetorial ${\bf a}$.

Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial $a_t$ da aceleração vetorial é nula:

\begin{displaymath}a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = 0\end{displaymath}

Sendo a trajetória curva, a componente normal $a_n$ da aceleração, ou também chamada de aceleração centrípeta não é nula ($a_n\neq 0$).

O módulo da aceleração centrípeta pode ser calculado pela seguinte expressão:

\begin{displaymath}a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2v\sin(\Delta\theta/2)}{\Delta t}\end{displaymath}

e como $\Delta\theta=\omega\Delta t$, e o ângulo $\Delta\theta$ é pequeno para $\Delta t$ pequeno, temos

\begin{displaymath}\sin\frac{\Delta\theta}{2} \simeq \frac{\Delta\theta}{2}\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}a_c = \frac{2\omega R \Delta\theta/2}{\Delta\theta/\omega} = \omega^2 R\end{displaymath}

ou então, como $v=\omega R$

\begin{displaymath}a_c = \frac{v^2}{R}\end{displaymath}

Figura 18.2: A aceleração centrípeta (normal).
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fd/05/ac.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (FCC) Uma partícula executa um movimento uniforme sobre uma circunferência de raio $20\; cm$. Ela percorre metade da circunferência em $2,0 \; s$. A frequência, em hertz, e o período do movimento, em segundos, valem, respectivamente :
a) 4,0 e 0,25
b) 1,0 e 1,0
c) 0,25 e 4,0
d) 2,0 e 0,5
e) 0,5 e 2,0


2. (UFES) Uma pessoa está em uma roda-gigante que tem raio de $5 \; m$ e gira em rotação uniforme. A pessoa passa pelo ponto mais próximo do chão a cada 20 segundos. Podemos afirmar que a frequência do movimento dessa pessoa, em rpm, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5


3. (ITA) Um automóvel percorre uma trajetória com velocidade escalar constante. A roda do automóvel, cujo raio é $30\; cm$, dá $40$ voltas em $2,0 \; s$. A Velocidade escalar angular da roda é, em rad/s:
a) $20\; rad/s$
b) $30\; rad/s$
c) $40\; rad/s$
d) $50\; rad/s$
e) $60\; rad/s$

Exercícios Complementares


4. (ACAFE) Um automóvel percorre uma estrada com velocidade escalar constante e igual a $8,0\; m/s$ e suas rodas possuem raio $R = 0,40\; m$. A frequência de rotação da roda é:
a) $5 \; Hz$
b) $8 \; Hz$
c) $12 \; Hz$
d) $6 \; Hz$
e) $10 \; Hz$


5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de $500\; m$ de raio, com velocidade escalar constante de $20 \; m/s$. A aceleração do ciclista é:
a) $0,5\; m/s^2$
b) $0,8\; m/s^2$
c) $1,4\; m/s^2$
d) $0,6\; m/s^2$
e) $1,2\; m/s^2$


6. (CEFET-PR) A órbita da Terra em torno do Sol, em razão da sua baixa excentricidade, é aproximadamente uma circunferência. Sabendo-se que a terra leva um ano para realizar uma volta completa em torno do Sol e que a distância média da Terra ao Sol é 150 milhões de $km$, os módulos dos vetores da velocidade e aceleração em $km/s$ e $m/s^2$ são respectivamente:
a) $10$ e $2,0 \times 10^{-3}$
b) $20$ e $2,0 \times 10^{-3}$
c) $30$ e $6,0 \times 10^{-3}$
d) $20$ e $6,0 \times 10^{-3}$
e) $10$ e $6,0 \times 10^{-3}$


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br