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Física C - Aula 3

Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Analisando um movimento de queda livre, podemos verificar que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia com o tempo. Trata-se então de um movimento variado.

Galileu já havia descoberto esse movimento e concluiu que, desprezando a resistência do ar, quando abandonamos do repouso os corpos próximos a superfície da terra caem com velocidades crescentes, e que a variação da velocidade é constante em intervalos de tempos iguais. Podemos então concluir que este é um movimento uniformemente variado (MUV).

Observamos um MUV quando o módulo da velocidade de um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tempos iguais, isto é, apresenta aceleração constante e diferente de zero.

No caso da trajetória ser retilínea, o movimento é denominado movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Portanto em um movimento retilíneo uniforme.

Aceleração e Velocidade no MRUV


\begin{displaymath}a = \mbox{constante} \neq 0\end{displaymath}

Como a aceleração escalar é constante, ela coincide com a aceleração escalar média:


\begin{displaymath}a = a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_0}{t-t_0}\end{displaymath}

fazendo $t_0=0$, podemos escrever a equação horária da velocidade, ou seja


\begin{displaymath}v = v_0 + at\end{displaymath}

Figura 16.1: $v\times t$ para o MRUV com $a\geq 0$.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fd/03/vt.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Figura 16.2: $v\times t$ para o MRUV com $a\leq 0$.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fd/03/vt2.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Posição versus tempo no MRUV

Analisando o gráfico de $v\times t$, podemos obter a função horária dos espaço calculando o deslocamento escalar desde $t = 0$ até um instante $t$ qualquer. Como:


\begin{displaymath}\Delta s = \mbox{área}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Delta s = \left(\frac{v+v_0}{2}\right)t\end{displaymath}

como:


\begin{displaymath}\Delta s = s -s_0\end{displaymath}

e


\begin{displaymath}v = v_0 + at\end{displaymath}

temos


\begin{displaymath}s - s_0 = \frac{1}{2}(v_0+at+v_0)t\end{displaymath}


\begin{displaymath}s - s_0 = \frac{1}{2}(2v_0+at)t = v_0t + \frac{1}{2}at^2\end{displaymath}

logo,


\begin{displaymath}s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\end{displaymath}

é a função horária dos espaços $s(t)$.

Figura 16.3: $x\times t$ para o MRUV com $a>0$.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fd/03/xt.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Figura 16.4: $x\times t$ para o MRUV com $a<0$.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fd/03/xt2.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

A Equação de Torricelli

O físico italiano Evangelista Torricelli estudou matemática em Roma. Nos últimos meses de vida de Galileu, Torricelli se tornou seu aluno e amigo íntimo, o que lhe proporcionou a oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma das conseqüências disso foi a unificação que Torricelli fez das funções horárias estabelecidas por Galileu para o movimento uniformemente variado.

Torricelli eliminou o tempo da função

\begin{displaymath}v = v_0 + at\end{displaymath}

obtendo

\begin{displaymath}t = (v- v_0)/a\end{displaymath}

e substituindo o valor de $t$ na função horária dos espaços, temos

\begin{displaymath}s = s_0 + v_m t = s_0 + \left(\frac{v+v_0}{2}\right)\left(\frac{v-v_0}{a}\right)\end{displaymath}

onde $v_m$ é a velocidade média do movimento.

Finalmente, obtemos a equação de Torricelli:

\begin{displaymath}v^2 = v_0^2 + 2a\Delta s\end{displaymath}

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (UEL) Uma partícula parte do repouso e, em 5 segundos percorre 100 metros. Considerando o movimento retilíneo uniformemente variado, podemos afirmar que a aceleração da partícula é de:
a) $8,0\; m/s^2$
b) $4,0\; m/s^2$
c) $20\; m/s^2$
d) $4,5\; m/s^2$
e) n.d.a.


2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de $15\; m/s$, tem, seu freio acionado. A desaceleração produzida pelo freio é de $10\; m/s^2$. O carro pára após percorrer:
a) $15,5 \; m$
b) $13,35 \; m$
c) $12,15 \; m$
d) $11,25 \; m$
e) $10,50 \; m$


3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movimento retilíneo é dada pela expressão $v(t) = 10-2t$, no SI. Calcule o espaço percorrido pelo corpo entre os instantes $2\; s$ e $3\; s$.
a) $3 \; m$
b) $5 \; m$
c) $8 \; m$
d) $16\; m$
e) $21\; m$

Exercícios Complementares


4. (CEFET) Na decolagem, um certo avião partindo do repouso, percorre $500\; m$ em $10,0\; s$. Considerando-se sua aceleração constante, a velocidade com que o avião levanta vôo é:
a) $100\; m/s$
b) $200 \; m/s$
c) $125 \; m/s$
d) $ 50 \; m/s$
e) $144 \; m/s$


5. (UNESP) Um móvel descreve um movimento retilíneo obedecendo a função horária $x(t) = 8 + 6t - t^2$ no SI. Esse movimento tem inversão de seu sentido no instante:
a) $8\; s$
b) $3\; s$
c) $6 \; s$
d) $2\; s$
e) $4/3 \; s$


6. (UNESP) No instante em que o sinal de trânsito autoriza a passagem, um caminhão de $24\; m$ de comprimento que estava parado começa atravessar uma ponte de $145\; m$ de comprimento, movendo-se com uma aceleração constante de $2,0\; m/s^2$. O tempo que o caminhão necessita para atravessar completamente a ponte é:
a) $12 \; s$
b) $145 \; s$
c) $13\; s$
d) $169 \; s$
e) $14 \; s$


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br