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Física C - Aula 4

Hidrostática

Lei de Stevin

Consideremos um recipiente contendo um líquido homogêneo de densidade $\rho $, em equilíbrio estático. As pressões que o líquido exerce nos pontos $A$ e $B$ são, respectivamente:

\begin{displaymath}p_a =\rho gh_a \mbox{ e } p_b = \rho gh_b\end{displaymath}

Figura 13.1: Cilindro de área de base $A$ e altura $h$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fc/04/mec261.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

A lei de Stevin ou princípio hidrostático afirma que a diferença de pressão entre os pontos $A$ e $B$ será:


\begin{displaymath}p_b - p_a = \rho g(h_b-h_a) = \rho g\Delta h\end{displaymath}

O useja, a diferença entre dois níveis diferentes, no interior de um líquido, é igual ao produto da sua massa específica pela aceleração da gravidade local e pela diferença de nível entre os pontos considerados.

Na realidade, temos que dividir a pressão num determinado ponto do líquido em dois tipos: i) pressão hidrostática: aquela que só leva em consideração o líquido:


\begin{displaymath}p_{hid}= \rho g h\end{displaymath}

e ii) pressão absoluta: aquela que leva em consideração o líquido e o ar sobre o líquido:


\begin{displaymath}p_{abs} = p_{atm} + \rho gh\end{displaymath}

Conseqüências da Lei de Stevin

No interior de um líquido em equilíbrio estático:

  1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma pressão;
  2. a superfície de separação entre líquidos não miscíveis é um plano horizontal;
  3. em vasos comunicantes quando temos dois líquidos não miscíveis temos que a altura de cada líquido é inversamente proporcional às suas massas específicas (densidades);

    Figura 13.2: Vasos comunicantes, com dois líquidos não miscíveis em equilíbrio.
    \begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fc/04/mec262.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}


    \begin{displaymath}p_y = p_x\end{displaymath}


    \begin{displaymath}p_{atm} + \rho_y g h_y = p_{atm} + \rho_x g h_x\end{displaymath}


    \begin{displaymath}\rho_y h_y = \rho_x h_x\end{displaymath}


    \begin{displaymath}\frac{\rho_y}{\rho_x} = \frac{h_x}{h_y}\end{displaymath}

  4. a diferença de pressão entre dois pontos dentro do fluído, depende apenas do seu desnível vertical ($\Delta h$), e não da profundidade dos pontos.

Princípio de Pascal

Pascal fez estudos em fluídos e enunciou o seguinte princípio:

A pressão aplicada a um fluído em equilíbrio transmite-se integral e instantaneamente à todos os pontos do fluído e às paredes do recipiente que o contém.

A Prensa Hidráulica

Uma das aplicações deste princípio é a prensa hidráulica como mostramos a seguir:

Figura 13.3: A prensa hidráulica.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=fc/04/mec263.eps,width=150pt}
\end{center}
\end{figure}

Observe que:

\begin{displaymath}p_1 = p_2\end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1}{A_2}\end{displaymath}

Isso mostra que uma força pequena $F_{1}$ é capaz de suportar, no outro êmbolo, um peso muito grande ($F_{2}$), isso é muito utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina.

A prensa hidráulica é o equivalente hidráulico do princípio da alavanca, de Arquimedes, usado na Mecânica. É bom lembrar que estas ``engenhocas" multiplicam realmente a força, mas não a energia. O trabalho mínimo necessário para elevar um carro é o mesmo, independente da máquina que se utilize ($W_{min} = mgh$).

Na prensa mostrada na Fig. 13.3, uma força $-\vec{F}_2$ (para baixo) deverá sef feita no êmbolo da direita, para manter o equilíbrio do sistema. Em geral, usa-se o êmbolo maior para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto do chão (macaco hidráulico).

Princípio de Arquimedes

Arquimedes, há mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo é devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num líquido, como a água, por exemplo.

Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo uma força vertical, de baixo para cima, de intensidade igual ao peso do fluido deslocado, denominada empuxo.

Ou seja, se um corpo está mergulhado num fluido de densidade $\rho_f$ e desloca volume $V_{fd}$ do fluido, num local onde a aceleração da gravidade é $g$, temos:

\begin{displaymath}P_f = m_f g\end{displaymath}

e como

\begin{displaymath}\rho_f = \frac{m_f}{V_{fd}}\end{displaymath}

a massa do fluido deslocado será

\begin{displaymath}m_f = \rho_f V_{fd}\end{displaymath}

e portanto

\begin{displaymath}P_f = \rho_f V_{fd} g\end{displaymath}

e, de acordo com o Princípio de Arquimedes

\begin{displaymath}E = \rho_f V_{fd} g\end{displaymath}

ou simplesmente

\begin{displaymath}E = \rho V g\end{displaymath}

ficando a nosso cargo a interpretação correta dos termos envolvidos.

Flutuação

Segundo o princípio de Arquimedes, quando temos um corpo na superfície de um fluído cujo peso (do corpo) é anulado (igual em módulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completamente submerso, o corpo irá flutuar sobre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplicação são construídos todos os tipos de barcos e navios.

Para um corpo de peso $P$ flutuando, a condição de equilíbrio deve ser satisfeita:

\begin{displaymath}\sum F_y =+E-P=0\end{displaymath}

ou seja

\begin{displaymath}P = E\end{displaymath}

Pode-se mostrar também que se um corpo tiver uma densidade média $\rho_c$ maior que a densidade $\rho_f$ de um certo fluido, ele não poderá flutuar nesse fluído, e acabará afundando se for solto na sua superfície.

Pense um Pouco!

Exercícios de Aplicação


1. (UFRJ) O impacto de uma partícula de lixo que atingiu a nave espacial Columbia produziu uma pressão da $100\; N/cm^2$. Nessas condições e tendo a partícula $2\; cm^2$, a nave sofreu uma força de:
a) 100 N
b) 200 N
c) 400 N
d) 800 N
e) 1600N


2. Uma piscina com $5,0\; m$ de profundidade está cheia com água. Considere $g=10\; m/s^2$ e $p_{atm} = 1,0 \times 10^5\; Pa$ e determine:
a) a pressão hidrostática a $3,0\; m$ de profundidade;
b) a pressão absoluta no fundo da piscina;
c) a diferença de pressão entre dois pontos separados, verticalmente, por $80\; cm$.


3. (Clássico) Para determinar a pressão atmosférica, Torricelli fez a seguinte experiência: um tubo de vidro, de $1\; m$ de comprimento, foi cheio de mercúrio e depois emborcado num recipiente contendo mercúrio; constatou que, ao nível do mar, o mercúrio no tubo mantém uma altura de $760\; mm$ acima da sua superfície livre (no recipiente). Se a densidade do mercúrio é $13,6\; g/cm^3$ e a aceleração da gravidade local é de $9,8\; m/s^2$, qual a pressão atmosférica constatada por Torricelli?


4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automóvel de massa $1.000\; kg$, o mesmo é erguido a uma certa altura. O sistema utilizado é uma prensa hidráulica. Sendo os êmbolos de áreas $10\; cm^2$ e $2.000\; cm^2$, e a aceleração da gravidade local de $10\; m/s^2$, pergunta-se:
a) em qual êmbolo deve-se apoiar o carro?
b) em qual êmbolo deve-se pressionar para se sustentar o carro?
c) qual a força aplicada no êmbolo para equilibrar o automóvel?

Exercícios Complementares


5. Água e óleo de densidades $1,0$ e $0,8$, respectivamente, são colocados em um tubo em ``U". Sendo de $16\; cm$ a altura da coluna de óleo, determine a altura da coluna de água medida acima do nível de separação entre os líquidos.


6. Os icebergs são grandes blocos de gelo que vagam em latitudes elevadas, constituindo um sério problema para a navegação, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequena parte, ficando o restante submerso. Sendo $V$ o volume total do iceberg e $\rho_{g} = 0,92\;
g/cm^3$ a densidade do gelo, determine a porcentagem do iceberg que fica acima da superfície livre da água, considerada com densidade igual a $\rho_f = 1,0\; g/cm^3$.


7. Uma bola com volume de $0,002\; m^3$ e densidade média de $200\; kg/m^3$ encontra-se presa ao fundo de um recipiente que contém água, através de um fio conforme a figura. Determine a intensidade da tração $T$ no fio que segura a bola (Considere $g=10\; m/s^2$).

\epsfig{file=fc/04/bola.eps,width=150pt}


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Professor Luciano Camargo Martins
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Física
Joinville-SC, Brasil
e-mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br
página pessoal: www.lccmmm.hpg.com.br